Chapitre 2 - Des édifices ordonnés : les cristaux

    Lors de la solidification, les atomes, les ions ou les molécules se rangent selon un empilement régulier, très ordonné et répété dans les trois directions de l’espace. Ils forment alors un solide cristallin.

Ex. : Le chlorure de sodium (sel de table) est un solide de formule chimique NaCl constitué d’ions chlorure Cl^- et d’ions sodium Na⁺.

  Un cristal est caractérisé par la répétition d’une maille élémentaire. Cette maille a une forme géométrique appelée système cristallin.

Il existe 7 types de maille.

Ex. : La maille du chlorure de sodium est un cube.

 

        1) La multiplicité :

 

a) Définition :

 

On définit la multiplicité Z d’une maille comme le nombre d’atomes contenus dans une maille élémentaire. Une maille est dite primitive si Z = 1. Sinon elle est dite multiple.

Selon sa place dans la maille, un atome ne compte pas pareil :

- un atome placé au centre d’une maille fait entièrement partie de la maille : il compte pour 1.

- un atome placé sur une face de la maille est partagé avec une autre maille : il compte pour ½.

- un atome placé sur une arrête de la maille est partagé entre 4 mailles : il compte pour ¼.

- un atome placé à un sommet de la maille est partagé entre 8 mailles : il compte pour 1/8.

 

 

                        b) Calcul de la multiplicité dans la maille cubique : Maths

 

  Le cristal de polonium a une maille cubique simple. Un atome au sommet de la maille est partagé entre 8 mailles. Sa contribution à la maille est donc de 1/8^ed’atome. Or, dans une maille, il y a des atomes aux 8 sommets donc leur contribution totale est de :

Z = 8 × 1/8= 1

La multiplicité du cristal de polonium vaut 1.

 

   Le cristal de fer a une maille cubique centrée. Un atome au sommet de la maille est partagé entre 8 mailles. Sa contribution à la maille est donc de 1/8^ed’atome. Or, dans une maille, il y a des atomes aux 8 sommets donc leur contribution totale est de :

8 × 1/8= 1

L’atome au centre de la maille n’est partagé avec aucune autre maille et a donc une contribution de 1.

La multiplicité étant égale à la somme des contributions des atomes, on obtient donc :

Z = 8 × 1/8 + 1 = 1 + 1 = 2

La multiplicité du cristal de fer vaut 2.

 

  Le cristal d’argent a une maille cubique à faces centrées. Un atome au sommet de la maille est partagé entre 8 mailles. Sa contribution à la maille est donc de 1/8^ed’atome. Or, dans une maille, il y a des atomes aux 8 sommets donc leur contribution totale est de :

8 × 1/8= 1

Un atome placé sur une face de la maille est partagé avec une autre maille : il compte pour ½. Il y en a 6 puisqu’il y a 6 faces donc leur contribution totale est de :

6 x ½ = 3

La multiplicité étant égale à la somme des contributions des atomes, on obtient donc :

Z = (8 × 1/8) + (6 x ½) = 1 + 3 = 4

La multiplicité du cristal d’argent vaut 4.

 

 

         2) La compacité : Maths

 

                    a) Définition :

    La compacité C mesure l’occupation du volume de la maille par les atomes. C’est un nombre sans unité compris entre 0 et 1.

C = V_atomes / V_maille

 Les atomes étant sphériques : V_atome = 4/3 x πx r³pour 1 atome à multiplier par le nombre d’atomes, donc par Z !

La maille étant cubique : V_maille = a x a x a = a³

Donc, pour un cristal de maille cubique :

C = ( Z x 4/3 x π x r³) / a³

avec Z  multiplicité de la maille

r rayon de l’atome ou de l’ion (en cm)

a longueur de l’arrête de la maille cubique (en cm)

 

                

                     b) Calculs :

 Maille cubique simple : r_polonium = 0,168 nm

r = 0,168 nm donc a = 2 x r = 0,336 nm

V_atomes = 1 x 4/3 x π x (168.10^-10)³ = 0,01986170168 nm³

V_maille = a³ = (0,336)³ = 0,037933056 nm³

C = = 0,01986170168 / 0,037933056 = 0,524

 

 Maille cubique à faces centrées : r_argent = 0,145 nm

r = 0,145 nm

V_atomes = 4 x 4/3 x π x (0,145)³ = 0,0510802021 nm³

Selon le théorème de Pythagore :

a² + a² = (4r)²↔ 2a² = (4r)²↔a² =(4r)² / 2 ↔ a = 4r / √2 = 0,4101219331 nm

V_maille= a³= (0,4101219331)³ = 0,06898250915 nm³

C = 0,0510802021 / 0,06898250915 = 0,740

 

     3) La masse volumique : Maths

 

                    a) Définition :

 La masse volumique ρ d’un cristal est la masse de ce cristal divisée par son volume, exprimée en g/cm³.

ρ = m_maille / V_maille

 La maille étant cubique : V_maille = a x a x a = a³

Par ailleurs : m_maille = Z x m_atome = Z x ( M_atome / N )

Donc, pour un cristal de maille cubique :

ρ= [ Z x ( M_atome / N ) ] / a³

avec Z multiplicité de la maille

M_atome masse molaire de l’atome (g/mol)

N nombre d’Avogadro = 6,023.10²³ mol^-1

a  longueur de l’arrête de la maille cubique (cm)

 

                     b) Calculs :

 Maille cubique simple :M_polonium = 209 g/mol

m_maille = Z x m_atome = Z x ( M_atome / N )

= 1 x (209 / 6,023.10²³) = 3,470031546.10^-22 g

r_polonium = 0,168 nm = 168.10^-10 cm donc a = 2 x r = 336.10^-10 cm

V_maille = a³ = (336.10^-10)³ = 3,7933056.10^-23 cm³

ρ = 3,470031546.10^-22 / 3,7933056.10^-23 = 9,147777458 g/cm³

 

 Maille cubique à faces centrées : M_argent = 107,9 g/mol

m_maille = Z x m_atome = Z x ( M_atome / N )

= 4 x (107,9 / 6,023.10²³) = 7,165864187.10^-22 g

r_argent = 0,145 nm = 145.10^-10 cm

donc a = 2√2 r ↔ a = 2√2 x 145.10^-10 = 4,101219331.10^-8 cm

V_maille = a³= (4,101219331.10^-8)³ = 6,898250915.10^-23 cm³

ρ = 7,165864187.10^-22 / 6,898250915.10^-23 = 10,38794366 g/cm³

 

 

• Mettre en relation la structure amorphe ou cristalline d’une roche et les conditions de son refroidissement. 

• Distinguer, en termes d’échelle et d’organisation spatiale, maille, cristal, minéral, roche.

•  

1) Les cristaux dans les roches :

     Une roche est formée de l’association de cristaux d’un ou plusieurs minéraux. Un minéral se caractérise par sa composition chimique et son organisation cristalline. Un composé de formule chimique donnée peut cristalliser sous différents types de structures selon les conditions de cristallisation (pression, température, etc.).

Ex. De même composition chimique, le basalte a une structure microlithique, le gabbro a une structure grenue.

      Dans un basalte, les minéraux sont entourés par un verre. C’est un solide amorphe dans lequel les éléments chimiques ne présentent pas d’arrangement géométrique régulier et répété. La présence de verre est le résultat d’une solidification très rapide du magma.

 

2) Les cristaux dans le vivant :

   Les êtres vivants peuvent posséder des structures cristallines qui jouent des rôles variés :

• Propriétés mécaniques

  • des coquilles de mollusques,

  • des coquilles d’œufs,

  • des os des Vertébrés.

• Toxicité pour les herbivores des cristaux présents dans certaines cellules végétales.